Licenciado en Medicina y Cirugía, desarrolló su tesis doctoral en el Instituto Gregorio Marañón del Centro de Investigaciones Biológicas del CSIC, bajo la dirección del Prof. Dr. Rodríguez Candela (ca. 1968). Fue Research Fellow en la Harvard Medical School (1969-1971) y Research Associate en la Medical School de la Universidad de Pensilvania (1971-72). De regreso a España se incorporó de nuevo al Instituto Gregorio Marañón y recorrió toda la escala científica del CSIC.
El 4 de Julio de 1977, el Dr. Roberto Parrilla obtiene mediante concurso oposición la plaza de Profesor Agregado de Bioquímica (Biofísica) de la Facultad de Medicina de la UAM, y se incorpora ese mismo año a la enseñanza de la asignatura de Biofísica.
El 14 de Mayo de 1980, es nombrado por concurso de acceso Catedrático de Fisiología General y Especial de la Facultad de Medicina de la Universidad de Extremadura
Durante su estancia como profesor de Biofísica en la Facultad de Medicina de la UAM (1977-1980), el Prof. Parrilla montó su propio laboratorio de investigación en los locales del Departamento de Bioquímica y desarrolló una labor muy activa y meritoria en la enseñanza tanto teórica como práctica de la Biofísica, precisamente una disciplina sobre la que se tenía muy escasa o nula tradición en el Departamento de Bioquímica. Empleó para ello un gran esfuerzo con la ayuda de tres profesores contratados: Sebastián Cerdán, Concepción Alonso y Sofía Sánchez Robles. Tras el traslado del Prof. Parrilla a Badajoz, la enseñanza de la Biofísica en la Facultad de Medicina de la UAM estuvo a cargo del Dr. Sebastián Cerdán, profesor adjunto de la asignatura (1978), hasta su traslado a los E.E.U.U en 1981.
El Prof. Parrilla en colaboración con Matilde Sánchez Ayuso ha publicado más de 140 trabajos, la mayor parte desde el Centro de Investigaciones Biológicas del CSIC (dónde se incorporó de nuevo), desarrollando temas tan diversos como: papel del glucagón y otras hormonas en la glucolisis, gluconeogénesis y en la síntesis de proteínas, regulación de enzimas mitocondriales; alteraciones bioquímicas en diversos cuadros patológicos: Alzheimer y síndrome de Bernard-Sulier. Últimamente han estudiado problemas de adhesión y agregación celular, y el papel regulador de la podolixina y la integrina en esos procesos.